Paolo, quello che ti manca è "solo" esercizio.
Dato che lo strumento è a posto e presupponendo che non suoni con un setup troppo impegnativo, il problema sta che non hai ancora ben sviluppato tutto il complesso respiro/spinta del diaframma/controllo del suono.
L'aspetto positivo è che a chiunque serve tempo e molto esercizio per riuscire a suonare bene gli estremi del registro, ma poi un po' alla volta si migliora sempre più.
Suonare una nota grave, pulita, piano, rotonda, richiede una bella colonna d’aria continua e sicura che vada a riempire tutto lo strumento. Quando ti eserciti puoi proprio pensarla questa colonna d’aria che riempie il sax, è utilissimo. Puoi anche soffiare nel sax senza emettere il suono per “sentire” l’aria che scorre: ti accorgerai che per sentire l’aria nella campana ti verrà spontaneo soffiare con respiro profondo e tenendo le labbra rilassate. (*) ... se non respiri profondamente, se non spingi l'aria con il diaframma ... ti trovi subito senza fiato.
Per emettere quest’aria serve che il muscolo diaframmatico sia in grado di lavorare appieno, deve essere sviluppato ed allenato. Fare esercizi di respirazione abbassando il diaframma quando inspiri e poi espirare in modo controllato e continuo è molto utile. Ricordo che parecchio tempo fa un gran sassofonista, Francesco Bearzatti, fece una masterclass e qualche forumista raccontando l’esperienza fece notare che il maestro iniziò la sua lezione proprio evidenziando questo aspetto fondamentale (si stese addirittura per terra inspirando/espirando con una mano sulla pancia per sentire il movimento della stessa che si alzava/abbassava).
(*) Secondo aspetto fondamentale, l’imboccatura deve essere assolutamente rilassata, che non significa lasca: rilassata per non stringere con le labbra sull’ancia, ma ferma e precisa per non permettere al suono di “sfarfallare”. Sei tu che controlli il suono, non il suono che esce come vuole.
Con l’esercizio le due cose vengono assieme. Gli esercizi con gli armonici secondo me sono molto utili perché se fatti bene e protratti nel tempo ti abituano sia ad usare in modo corretto il diaframma e a svilupparlo, ottenendo un respiro più profondo, sia a non stringere l’ancia, mantenendo gola, laringe ecc rilassate.
Infine, anche se concordo molto con la tua idea di non pensare al setup, ti metto in guardia però che per suonare le note gravi non in subtone o soffiato, magari pure piano, non tutte le imboccature vanno bene. Quelle a tetto basso, via assolutamente. Possibilmente invece una imboccatura a camera larga e apertura contenuta e un'ancia non troppo dura, almeno finché non hai sviluppato quanto detto sopra.